Принцип наименьшего действия - один из вариационных принципов механики, согласно к-рому для данного класса сравниваемых
друг с другом движений механич. системы действительным является то, для к-рого
физ. величина, наз. действием ,имеет минимум (точнее, экстремум). Обычно
принцип наименьшего действия применяется в одной из двух форм.
а) Принцип наименьшего действия в форме Гамильтона - Остроградского.
В этом случае под действием за промежуток времени t1 -
t0 понимают величину
где L - функция Лагранжа, зависящая от обобщённых
координат системы qi, обобщённых скоростей .qi и времени t (см. Лагранжа функция ).H. д. п. в этой форме
устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из
одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же
промежуток времени t1 - t0, действительным
является то, для к-рого действие S будет наименьшим. Матем. выражение
принципа наименьшего действия имеет в этом случае вид
где d - символ неполной (изохронной) вариации.
б) H. д. п. в форме Мопертюи - Лагранжа. В этом
случае под действием за промежуток времени t1 - t0,
в течение к-рого система перемещается из конфигурации А в конфигурацию
В, понимают величину
где T - кинетич. энергия системы, pi - обобщённые импульсы. H. д. п. в этой форме устанавливает, что среди всех
кинематически возможных перемещений системы из конфигурации А в близкую
к ней конфигурацию В, совершаемых при сохранении одной и той же величины
полной энергии системы, действительным является то, для к-рого действие S0
будет наименьшим.
Матем. выражение H. д. п. в этом случае имеет
вид
где D - символ полной вариации (в отличие
от принципа Гамильтона - Остроградского, здесь варьируются не только координаты
и скорости, но и время перемещения системы из одной конфигурации в другую).
Принцип наименьшего действия в форме (2) справедлив только для консервативных и притом голономных
систем. Принцип наименьшего действия в форме (1) является более общим и, в частности, может
быть распространён на неконсервативные системы. H. д. п. пользуются для составления
ур-ний движения механич. систем и для исследования общих свойств этих движений.
При соответствующем обобщении понятий принципа наименьшего действия находит приложения в механике
непрерывной среды, в электродинамике, квантовой механике и др.
|
|
 |
